Question

17．已知函数f（x）=a（x-1）²-4lnx，a≥0．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对一切x∈[2，e]，f（x）≤-1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定函数的定义域，当a=1时，求导数，利用导数的正负求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）令g（x）=a（x-1）²-4lnx+1，求出g（x）_max=g（e）=a（e-1）²-4lne+1=a（e-1）²-3，利用对一切x∈[2，e]，f（x）≤-1恒成立，求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．
当a=1时，f（x）=（x-1）²-4lnx，
∴f′（x）=2（x-1）-$\frac{4}{x}$=$\frac{2（x-2）（x+1）}{x}$
由f′（x）＞0可得x＞2．f′（x）＜0可得0＜x＜2，
∴f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）；
（Ⅱ）令g（x）=a（x-1）²-4lnx+1，则x∈[2，e]，g′（x）=2a（x-1）-$\frac{4}{x}$＞0，
∴g（x）=a（x-1）²-4lnx+1在x∈[2，e]上单调递增，
∴g（x）_max=g（e）=a（e-1）²-4lne+1=a（e-1）²-3，
∵对一切x∈[2，e]，f（x）≤-1恒成立，
∴a（e-1）²-3≤0
∴a≤$\frac{3}{（e-1）^{2}}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确求导是关键．