Question

9．函数f（x）=ax-$\frac{1}{x}$-（a+1）lnx，（a≥0），求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，对a讨论，当a=0，a=1，0＜a＜1，a＞1，运用二次不等式的解法，即可得到单调区间．

解答 解：f（x）=ax-$\frac{1}{x}$-（a+1）lnx（x＞0）的导数为
f′（x）=a+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{a+1}{x}$=$\frac{（ax-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
当a=0时，f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
当a=1时，f′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≥0，f（x）递增，
当a＞1时，1＞$\frac{1}{a}$，当$\frac{1}{a}$＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
当x＞1或0＜x＜$\frac{1}{a}$时，f′（x）＞0，f（x）递增．
当0＜a＜1时，当1＜$\frac{1}{a}$时，当1＜x＜$\frac{1}{a}$时，f′（x）＜0，f（x）递减，
当0＜x＜1或x＞$\frac{1}{a}$时，f′（x）＞0，f（x）递增．
综上可得，当a=0时，f（x）的增区间为（0，1），f（x）的减区间为（1，+∞）；
当a=1时，f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；
当0＜a＜1时，f（x）的增区间为（0，1），（$\frac{1}{a}$，+∞），减区间为（1，$\frac{1}{a}$）；
当a＞1时，f（x）的增区间为（0，$\frac{1}{a}$），（1，+∞），减区间为（$\frac{1}{a}$，1）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，主要考查二次不等式的解法，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．