Question

4．如图，三条平行直线l₁，l，l₂把平面分成①、②、③、④四个区域（不含边界），且直线l到l₁，l₂的距离相等．点O在直线l上，点A，B在直线l₁上，P为平面区域内的点，且满足$\overrightarrow{OP}$=λ₁$\overrightarrow{OA}$+λ₂$\overrightarrow{OB}$（λ₁，λ₂∈r）．若P所在的区域为④，则λ₁+λ₂的取值范围是（-∞，-1）．

Answer 1

分析 利用平面向量的基本定理和平行四边形法则即可得出．

解答 解：分别作$\overrightarrow{OM}=-\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}=-\overrightarrow{OB}$，平行四边形OMEN，OE∩MN=F
则$\overrightarrow{OF}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$）=-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$），此时λ₁+λ₂ =-1
在直线MN上任取一点Q，
则$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FQ}$=-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$）+λ$\overrightarrow{NM}$═-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$）+λ（$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}$）=（-$\frac{1}{2}$-λ）$\overrightarrow{OA}$+（-$\frac{1}{2}$+λ）$\overrightarrow{OB}$，
此时λ₁+λ₂ =-1
在区域④内，任取一点P′，不妨设$\overrightarrow{O{P}^{′}}$=λ$\overrightarrow{OQ}$=$λ{λ}_{1}\overrightarrow{OA}+λ{λ}_{2}\overrightarrow{OB}$（其中λ＞1）
则λλ₁+λλ₂=-λ＜-1
故答案为：（-∞，-1）

点评 本题利用平面向量的基本定理和平行四边形法则来解决问题，属于难题．