Question

12．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图直方图：
（Ⅰ）若直方图中前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如下数据：

是否近视 年级名次	1～50	951～1000
近视	41	32
不近视	9	18

根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

附：
${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，求出视力在5.0以下的频率，即可估计全年级视力在5.0以下的人数；
（Ⅱ）求出K²，与临界值比较，即可得出结论；
（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设各组的频率为f_i（i=1，2，3，4，5，6），
由前三组的频数成等比数列，后四组的频数成等差数列，可得前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故f₁=0.15×0.2=0.03，f₂=0.45×0.2=0.09，${f_3}=\frac{f_2^2}{f_1}=0.27$…（1分）
所以由$\frac{{（{f_3}+{f_6}）•4}}{2}=1-（0.03+0.09）$得f₆=0.17，…（2分）
所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83，…（3分）
故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×0.83=830…（4分）
（Ⅱ）${k^2}=\frac{{100×{{（41×18-32×9）}^2}}}{50×50×73×27}=\frac{300}{73}≈4.110＞3.841$…（6分）
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．…（7分）
（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，…（8分）
X可取0，1，2，3$P（X=0）=\frac{C_6^3}{C_9^3}=\frac{20}{84}$，$P（X=1）=\frac{C_6^2C_3^1}{C_9^3}=\frac{45}{84}$，$P（X=2）=\frac{C_6^1C_3^2}{C_9^3}=\frac{18}{84}$，$P（X=3）=\frac{C_3^3}{C_9^3}=\frac{1}{84}$
X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{20}{84}$	$\frac{45}{84}$	$\frac{18}{84}$	$\frac{1}{84}$

…（11分）
X的数学期望$E（X）=0×\frac{20}{84}+1×\frac{45}{84}+2×\frac{18}{84}+3×\frac{1}{84}=1$…（12分）

点评 本题考查直方图，考查独立性检验的应用，考查求X的分布列和数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．