Question

1．函数f（x）=mx|x-a|-|x|+1
（1）若m=1，a=0，试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a=1，试讨论f（x）的零点的个数．

Answer 1

分析 （1）将m=1，a=0代入函数表达式，通过讨论x的范围，结合二次函数的性质，从而求出函数的单调性；
（2）将a=1代入函数的表达式，通过讨论x的范围，根据二次函数的性质，从而求出函数的零点的个数．

解答 解：（1）若m=1，a=0，
则f（x）=x|x|-|x|+1，
①x≥0时，f（x）=x²-x+1，
对称轴x=$\frac{1}{2}$，开口向上，
∴f（x）在[0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增；
②x＜0时，f（x）=-x²+x+1，
对称轴x=$\frac{1}{2}$，开口向下，
∴f（x）在（-∞，0）递增；
综上：f（x）在（-∞，0）递增，在[0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增．
（2）a=1时，f（x）=mx|x-1|-|x|+1，
①x＜0时，f（x）=mx（1-x）+x+1=-mx²+（m+1）x+1，
△=（m+1）²+4m=m²+6m+1，
令m²+6m+1=0，解得：m=-3±2$\sqrt{2}$，
当m＜-3-2$\sqrt{2}$或x＞-3+2$\sqrt{2}$时，△＞0，有2个零点，
当-3-2$\sqrt{2}$＜m＜-3+2$\sqrt{2}$时，△＜0，没有零点，
当m=-3±2$\sqrt{2}$时，△=0，有1个零点；
②0≤x≤1时，f（x）=mx（1-x）-x+1=-mx²+（m-1）x+1，
△=（m+1）²≥0，
m=-1时，函数有1个零点，m≠-1时，有2个零点；
③x＞1时，f（x）=mx（x-1）-x+1=mx²-（m+1）x+1，
△=（m-1）²≥0，
m=1时，函数有1个零点，m≠1时，函数有2个零点．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．