Question

9．设函数f（x）=4lnx+ax²+bx（a，b∈R），f′（x）是f（x）的导函数，且1和4分别是f（x）的两个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在区间（m，m+3）上是单调函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若对于?x₁∈[1，e]，?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+λ[f′（x₂）+5]＜0成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f′（x）=$\frac{4}{x}+2ax+b$=$\frac{2a{x}^{2}+bx+4}{x}$（x＞0），由于1和4分别是f（x）的两个极值点，可得1和4分别是f′（x）=0的两根，解出即可得出．
（II）由上得f′（x）=$\frac{4}{x}$+x-5=$\frac{（x-1）（x-4）}{x}$（x＞0）），分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，再利用f（x）在区间（m，m+3）上是单调函数，即可得出．
（Ⅲ）对于?x₁∈[1，e]，?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+λ[f′（x₂）+5]＜0成立，?等价于“?x₂∈[1，e]，使得λ[f′（x₂）+5]＜[-f（x₁）]_min，x₁∈[1，e]．
利用f（x₁）在x₁∈[1，e]的单调性质可得[-f（x₁）]_min．又x₂∈[1，e]，时，f′（x₂）+5=$\frac{4}{{x}_{2}}+{x}_{2}$＞0，转化为“?x₂∈[1，e]，使λ＜$\frac{9}{2（x+\frac{4}{x}）}$成立”，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{4}{x}+2ax+b$=$\frac{2a{x}^{2}+bx+4}{x}$（x＞0），
∵1和4分别是f（x）的两个极值点，
∴1和4分别是f′（x）=0的两根，
∴1+4=-$\frac{b}{2a}$，$1×4=\frac{4}{2a}$，
解得a=$\frac{1}{2}$，b=-5．
∴f（x）=4lnx+$\frac{1}{2}{x}^{2}$-5x．
（Ⅱ）由上得f′（x）=$\frac{4}{x}$+x-5=$\frac{（x-1）（x-4）}{x}$（x＞0）），
由f′（x）＞0，解得0＜x＜1或x＞4；
由f′（x）＜0，解得1＜x＜4．
故f（x）的单调递增区间为（0，1），（4，+∞），单调递减区间为（1，4），
从而对于区间（m，m+3），有$\left\{\begin{array}{l}{0≤m}\\{m+3≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1≤m}\\{m+3≤4}\end{array}\right.$或m≥4，
解得m的取值范围：{1}∪[4，+∞）．
（Ⅲ）对于?x₁∈[1，e]，?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+λ[f′（x₂）+5]＜0成立，?等价于“?x₂∈[1，e]，使得λ[f′（x₂）+5]＜[-f（x₁）]_min，x₁∈[1，e]．
由上可得：x₁∈[1，e]，f（x₁）单调递减，故-f（x₁）单调递增，∴[-f（x₁）]_min=-f（1）=$\frac{9}{2}$；
又x₂∈[1，e]，时，f′（x₂）+5=$\frac{4}{{x}_{2}}+{x}_{2}$＞0且在[1，2]上递减，在[2，e]递增，
∴[f′（x₂）]_min=f′（2）=4，
从而问题转化为“?x₂∈[1，e]，使$λ（x+\frac{4}{x}）$$＜\frac{9}{2}$”，即“?x₂∈[1，e]，使λ＜$\frac{9}{2（x+\frac{4}{x}）}$成立”，
故λ＜$[\frac{9}{2（x+\frac{4}{x}）}]_{max}$=$\frac{9}{2×4}$=$\frac{9}{8}$．
∴λ∈$（-∞，\frac{9}{8}）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．