Question

20．已知函数f（x）=e^x+mx-2，g（x）=mx+lnx．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）当m=-1时，试推断方程：$|{g（x）}|=\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$是否有实数解．

Answer 1

分析 （I）求导f′（x）=e^x+m，从而讨论m以确定导数的正负，从而确定函数的单调性；
（II）当m=-1时，g（x）=-x+lnx，（x＞0）；再求导g′（x）=-1+$\frac{1}{x}$，从而求得|g（x）|≥1；再令h（x）=$\frac{lnx}{x}$$+\frac{1}{2}$，则h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$；从而求得h（x）≤h（e）=$\frac{1}{e}$$+\frac{1}{2}$＜1；从而判断．

解答 解：（I）∵f（x）=e^x+mx-2，
∴f′（x）=e^x+m，
当m≥0时，f′（x）＞0；
函数f（x）的单调增区间为R；
当m＜0时，由f′（x）＞0解得，x＞ln（-m）；
由f′（x）＜0解得，x＜ln（-m）；
故函数f（x）的单调增区间为[ln（-m），+∞），
单调减区间为（-∞，ln（-m））；
（II）当m=-1时，g（x）=-x+lnx，（x＞0）；
g′（x）=-1+$\frac{1}{x}$，
故g（x）在x=1处取得极大值，
故g（x）≤g（1）=-1；
故|g（x）|≥1；
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$$+\frac{1}{2}$，则h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$；
故h（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数；
故h（x）在x=e处取得最大值；
∴h（x）≤h（e）=$\frac{1}{e}$$+\frac{1}{2}$＜1；
故方程$|{g（x）}|=\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$没有实数解．

点评 本题考查了方程的根与函数的关系应用及导数的综合应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．