Question

5．已知函数f（x）=ax²-2x+b
（1）若b=1，函数h（x）=ln$\frac{f（x）}{x}$（x＞0）在[2，+∞）上递增，求实数a的范围；
（2）若a=-1，b=0，定义域为R的函数g（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|{lgx}|（x＞0）}\\{f（x）（x≤0）}\end{array}}$，当g（x）＜1时，讨论关于C的方程2g²（x）+2mg（x）+1=0的根的个数．

Answer 1

分析 （1）由题意可得y=ax-2+$\frac{1}{x}$（x＞0），在[2，+∞）上递增，ax-2+$\frac{1}{x}$（x＞0）＞0在[2，+∞）上恒成立，运用参数分离和导数，解不等式即可得到a的范围；
（2）求出g（x）的解析式，作出函数的图象，令t=g（x），则2t²+2mt+1=0，对t讨论，运用参数分离，结合基本不等式和函数的单调性，对m讨论，即可得到原方程的根的个数．

解答 解：（1）若b=1，函数h（x）=ln$\frac{f（x）}{x}$（x＞0）=ln（ax-2+$\frac{1}{x}$），
令y=ax-2+$\frac{1}{x}$（x＞0），
由题意可得，y=ax-2+$\frac{1}{x}$（x＞0），在[2，+∞）上递增，
y′=a-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0在[2，+∞）上恒成立，
即有a≥$\frac{1}{4}$，
由ax-2+$\frac{1}{x}$（x＞0）＞0在[2，+∞）上恒成立，
即a＞$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-（$\frac{1}{x}$-1）²+1在[2，+∞）上恒成立，
则a＞1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
则有a＞$\frac{3}{4}$，
即有实数a的范围是（$\frac{3}{4}$，+∞）；
（2）若a=-1，b=0，定义域为R的函数g（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|{lgx}|（x＞0）}\\{f（x）（x≤0）}\end{array}}$，
则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$，作出g（x）的图象．
令t=g（x），则2t²+2mt+1=0①
t=0时，方程①无解，原方程无解；
t≠0，m=-t-$\frac{1}{2t}$②
t＜0时，m=-t-$\frac{1}{2t}$∈[$\sqrt{2}$，+∞），t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$取得等号．
m=$\sqrt{2}$时，方程②一解，原方程一解，
m＞$\sqrt{2}$时，方程②两解，原方程两解，
m＜$\sqrt{2}$时，方程②无解，原方程无解．
0＜t＜1时，m=-t-$\frac{1}{2t}$∈[-∞，-$\sqrt{2}$]，
当0＜t＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，m=-t-$\frac{1}{2t}$递增，$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜t＜1时，m=-t-$\frac{1}{2t}$递减．
且m（1）═-$\frac{3}{2}$，
即有m＞-$\sqrt{2}$时，原方程无解；
m=-$\sqrt{2}$或m≤-$\frac{3}{2}$时，方程②一解，原方程4解；
-$\frac{3}{2}$＜m＜-$\sqrt{2}$时，方程②两解，原方程8解．
综上可得，m=$\sqrt{2}$时，原方程一解；
m＞$\sqrt{2}$时，原方程两解；
-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$时，原方程无解．
m=-$\sqrt{2}$或m≤-$\frac{3}{2}$时，原方程4解；
-$\frac{3}{2}$＜m＜-$\sqrt{2}$时，原方程8解．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，同时考查函数和方程的转化思想，运用分类讨论和数形结合的思想方法是解题的关键．