Question

10．证明：lnx-$\frac{1}{4}$x²≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$$\sqrt{{x}^{4}+1}$-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由基本不等式，可得$\sqrt{{x}^{4}+1}$≥$\sqrt{2{x}^{2}}$，要证原不等式成立，即证lnx-$\frac{1}{4}$x²≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{4}$，设f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$，x＞0，求出导数，求得单调区间，求得极大值，且为最大值，即可得证．

解答 证明：∵$\sqrt{{x}^{4}+1}$≥$\sqrt{2{x}^{2}}$，
∴要证lnx-$\frac{1}{4}$x²≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$$\sqrt{{x}^{4}+1}$-$\frac{3}{4}$，
即证lnx-$\frac{1}{4}$x²≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{4}$，
设f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$，x＞0，
则f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=$\frac{2-x-{x}^{2}}{2x}$，x＞0，
由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1，
∴x=1时，f（x）取得极大值，且为最大值f（1）=0，
即有f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$≤0，
即为lnx-$\frac{1}{4}$x²≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{4}$，
∴lnx-$\frac{1}{4}$x²≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$$\sqrt{{x}^{4}+1}$-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查导数的运用：求极值和最值，考查不等式的证明方法：导数法，借助基本不等式，构造函数是解题的关键．