Question

6．已知数列{a_n}满足S_n=$\frac{n}{2}{a_n}（n∈{N^*}）$，（其中S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₂=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}（n为奇数）\\{a_{2^n}}（n为偶数）\end{array}$，求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过S_n=$\frac{n}{2}{a_n}（n∈{N^*}）$及a_n+1=S_n+1-S_n可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n-1}$，从而可得当n≥3时，a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•aa₂=2（n-1），进而可得结论；
（Ⅱ）分别求出奇数项的和与偶数项的和，相加即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=$\frac{n}{2}{a_n}（n∈{N^*}）$，∴S_n+1=$\frac{n+1}{2}{a}_{n+1}$，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{n+1}{2}{a}_{n+1}$-$\frac{n}{2}{a}_{n}$，
化简得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n-1}$，
又∵a₂=2，∴a₁=S₂-a₂=0，
当n≥3时，a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•aa₂
=$\frac{n-1}{n-2}$•$\frac{n-2}{n-3}$•…•$\frac{2}{1}$•2
=2（n-1），
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，}&{n=1}\\{2（n-1），}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）∵b_n=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}（n为奇数）\\{a_{2^n}}（n为偶数）\end{array}$，
∴当n=2k-1时，b_2k-1=a_2k-1=2（2k-1-1）=4（k-1），
当n=2k时，b_2k=${a}_{{2}^{2k}}$=2（2^2k-1）=2•4^k-2，
∴记数列{b_n}的前2n项和T_2n中奇数项和为T₁，
则T₁=0+4（2-1）+4（3-1）+…+4（n-1）
=4（1+2+3+…+n）-4n
=$4•\frac{n（n+1）}{2}$-4n
=2n（n-1），
记数列{b_n}的前2n项和T_2n中奇数项和为T₂，
则T₂=2•4¹-2+2•4²-2+…+2•4ⁿ-2
=$2•\frac{4•（1-{4}^{n}）}{1-4}$-2n
=$\frac{1}{3}•{2}^{2n+3}$-2n-$\frac{8}{3}$，
∴T_2n=T₁+T₂
=2n（n-1）+$\frac{1}{3}•{2}^{2n+3}$-2n-$\frac{8}{3}$
=$\frac{1}{3}•{2}^{2n+3}$+2n²-4n-$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查数列的递推公式，考查等差、等比数列的求和公式，考查分类讨论的思想，利用a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•aa₂是解决本题的关键，属于中档题．