Question

11．设k为常数，求f（x）=$\frac{{x}^{2}+k+1}{\sqrt{{x}^{2}+k}}$的最小值．

Answer 1

分析 将f（x）变形为$\sqrt{{x}^{2}+k}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+k}}$（x²＞-k），讨论①k≤1，运用基本不等式即可得到最小值2；②k＞1时，令$\sqrt{{x}^{2}+k}$=t，（t＞1），运用函数的单调性，即可得到最小值．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{2}+k+1}{\sqrt{{x}^{2}+k}}$=$\sqrt{{x}^{2}+k}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+k}}$（x²＞-k），
①若k≤1，f（x）≥2$\sqrt{{x}^{2}+k}$•$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+k}}$=2，
当且仅当$\sqrt{{x}^{2}+k}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+k}}$即有x=±$\sqrt{1-k}$时，f（x）取得最小值2．
②若k＞1时，令$\sqrt{{x}^{2}+k}$=t，（t＞1），
y=t+$\frac{1}{t}$的导数y′=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，
则y=t+$\frac{1}{t}$在（1，+∞）递增，
则有t=$\sqrt{k}$时，f（x）取得最小值，且为$\frac{（1+k）\sqrt{k}}{k}$．
即有k≤1时，f（x）取得最小值2；
k＞1时，f（x）取得最小值为$\frac{（1+k）\sqrt{k}}{k}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，主要考查基本不等式的运用和函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．