Question

1．已知函数f（x）=x³+$\frac{5}{2}{x^2}$+ax+b，g（x）=x³+$\frac{7}{2}{x^2}$+lnx+b，（a，b为常数）．
（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，-5），求b的值；
（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）-x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）令F（x）=f（x）-g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求b的值；
（Ⅱ）求出方程f（x）-x=xf′（x）的表达式，利用参数分离法构造函数，利用导数求出函数的取值范围即可求实数b的取值范围；
（Ⅲ）求函数的导数，利用导数和极值之间的关系进行求解即可，

解答 解：（Ⅰ）设g（x）在x=1处的切线方程为y=kx-5，
因为$g'（x）=3{x^2}+7x+\frac{1}{x}\;，\;g'（1）=11$，
所以k=11，故切线方程为y=11x-5．
当x=1时，y=6，将（1，6）代入$g（x）={x^3}+\frac{7}{2}{x^2}+lnx+b$，
得$b=\frac{3}{2}$． …（3分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²+5x+a，
由题意得方程${x^3}+\frac{5}{2}{x^2}+ax+b=3{x^3}+5{x^2}+ax+x$有唯一解，
即方程$2{x^3}+\frac{5}{2}{x^2}+x=b$有唯一解．
令$h（x）=2{x^3}+\frac{5}{2}{x^2}+x$，则h'（x）=6x²+5x+1=（2x+1）（3x+1），
所以h（x）在区间$（-∞，-\frac{1}{2}），（-\frac{1}{3}，+∞）$上是增函数，在区间$（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}）$上是减函数．
又$h（-\frac{1}{2}）=-\frac{1}{8}，h（-\frac{1}{3}）=-\frac{7}{54}$，
故实数b的取值范围是$（-∞，-\frac{7}{54}）∪（-\frac{1}{8}，+∞）$． …（8分）
（Ⅲ）F（x）=ax-x²-lnx，
所以$F'（x）=-\frac{{2{x^2}-ax+1}}{x}$．
因为F（x）存在极值，所以$F'（x）=-\frac{{2{x^2}-ax+1}}{x}=0$在（0，+∞）上有根，
即方程2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根，则有△=a²-8≥0．
显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意；
所以方程必有两个不等正根．
记方程2x²-ax+1=0的两根为x₁，x₂，则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}{x_2}=\frac{1}{2}＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{a}{2}\end{array}\right.$
$F（{x_1}）+F（{x_2}）=a（{x_1}+{x_2}）-（{x_1}^2+{x_2}^2）-（ln{x_1}+ln{x_2}）$=$\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{4}+1-ln\frac{1}{2}$＞$5-ln\frac{1}{2}$，
解得a²＞16，满足△＞0．
又${x_1}+{x_2}=\frac{a}{2}＞0$，即a＞0，
故所求a的取值范围是（4，+∞）．  …（14分）

点评 本题主要考查导数的几何意义，函数单调性，极值和最值与导数之间的关系，综合考查导数的应用．