Question

6．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过椭圆右焦点且斜率为1的直线与圆（x-2）²+（y-2）²=$\frac{1}{2}$相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆右焦点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于点A，B，与y轴交于点C，且AB中点与FC的中点重合，求△AOB（O为坐标原点）的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a=$\sqrt{2}$c，可得椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$．过椭圆右焦点且斜率为1的直线方程为：y=x-c，由于此直线与圆（x-2）²+（y-2）²=$\frac{1}{2}$相切，可得$\frac{|2-2-c|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c，即可得出椭圆的方程．
（2）设直线l的方程为：y=k（x-1），C（0，-k），设FC的中点为M（x₀，y₀），可得M$（\frac{1}{2}，-\frac{k}{2}）$．与椭圆方程联立化为（2k²-1）x²-4k²x+2k²-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中点坐标公式与根与系数的关系可得：k²=$\frac{1}{2}$．利用|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．点O到直线l的距离d=$\frac{|-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，S_△AOB=$\frac{1}{2}|AB|d$．

解答 解：（1）∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a=$\sqrt{2}$c，
∴b²=a²-c²=c²，
∴椭圆的方程可化为：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$．
过椭圆右焦点且斜率为1的直线方程为：y=x-c，
∵此直线与圆（x-2）²+（y-2）²=$\frac{1}{2}$相切，
∴$\frac{|2-2-c|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c=1，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）设直线l的方程为：y=k（x-1），C（0，-k），
设FC的中点为M（x₀，y₀），可得M$（\frac{1}{2}，-\frac{k}{2}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}-2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化为（2k²-1）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}-1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}-1}$．
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$，解得k²=$\frac{1}{2}$．
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$．
则|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+\frac{1}{2}）1-4×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
点O到直线l的距离d=$\frac{|-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆方程相交转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．