Question

16．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正三角形的性质可得BD⊥AC，利用线面垂直的性质可知PA⊥BD，再利用线面垂直的判定定理即可证明BD⊥PC；
（Ⅱ）利用已知条件分别求出BM、MD、PB，得到$\frac{BM}{MD}=\frac{BN}{NP}$，即可得到MN∥PD，再利用线面平行的判定定理即可证明

解答 证明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AC中点，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）在正△ABC中，BM=2$\sqrt{3}$．
在△ACD中，
∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．
∠ADC=120°，
∴DM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{NM}{MD}$=$\frac{3}{1}$．
在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BN}{NP}$=$\frac{3}{1}$，
∴$\frac{BM}{MD}=\frac{BN}{NP}$，
∴MN∥PD．
又MN?平面PDC，PD?平面PDC，
∴MN∥平面PDC．

点评 本题主要考查线面垂直的性质以及线面平行的判定，利用相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键．