Question

8．长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$，点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）以直线AB的倾斜角α为参数，写出曲线C的参数方程；
（Ⅱ）求点P到点D（0，-1）距离d的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设P（x，y），则根据题设画图，可知：x=$\frac{2}{3}$|AB|cos（π-α），y=$\frac{1}{3}|AB|sin（π-α）$，化简整理即可得出参数方程；
（Ⅱ）设P（-2cosα，sinα），可得|PD|=$\sqrt{（-2cosα）^{2}+（sinα+1）^{2}}$=$\sqrt{-3（sinα-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{16}{3}}$，利用二次函数与三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设P（x，y），则根据题设画图，
可知：x=$\frac{2}{3}$|AB|cos（π-α）=-2cosα，y=$\frac{1}{3}|AB|sin（π-α）$=sinα，
曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数，且$\frac{π}{2}＜α＜π$）；
（Ⅱ）设P（-2cosα，sinα），则
|PD|=$\sqrt{（-2cosα）^{2}+（sinα+1）^{2}}$
=$\sqrt{-3si{n}^{2}α+2sinα+5}$
=$\sqrt{-3（sinα-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{16}{3}}$，
∵$\frac{π}{2}＜α＜π$，∴sinα∈（0，1），
∴$2＜|PD|≤\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故d的取值范围是$（2，\frac{4\sqrt{3}}{3}]$．

点评 本题考查了直线的参数方程、两点之间的距离公式、二次函数与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．