Question

20．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$cosxsinx+2cos²x
（1）求$f（\frac{π}{6}）$；
（2）求f（x）的最小正周期；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，从而求得f（$\frac{π}{6}$）的值．
（2）根据函数f（x）的解析式、正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．
（3）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．

解答 解：（1）由函数f（x）=2$\sqrt{3}$cosxsinx+2cos²x可得，
$f（\frac{π}{6}）=2\sqrt{3}cos\frac{π}{6}sin\frac{π}{6}+2{cos^2}\frac{π}{6}=2\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{1}{2}+2×{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^2}=3$．
（2）函数f（x）=2$\sqrt{3}$cosxsinx+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
故函数的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（3）对于函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为3；
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，函数f（x）取得小值为0，
故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1的值域为[0，3]．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．