Question

15．若△ABC满足（2$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$）•（$\overrightarrow{CA}$-2$\overrightarrow{CB}$）=0，且|$\overrightarrow{AB}$|=2，则|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|=6．

Answer 1

分析 将已知等式展开，结合|$\overrightarrow{AB}$|=2化为|$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$|=2得到$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=8，将所求平方展开，得到所求．

解答 解：（2$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{CB}$）•（$\overrightarrow{CA}$-2$\overrightarrow{CB}$）=0展开得2${\overrightarrow{CA}}^{2}+2{\overrightarrow{CB}}^{2}-5\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$，①
又|$\overrightarrow{AB}$|=2，即|$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$|=2，平方得${\overrightarrow{CB}}^{2}+{\overrightarrow{CA}}^{2}-2\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}=4$②，
由①②可得$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=8，
所以|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|²=|$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$|²+4$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=4+32=36，
所以|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|=6．
故答案为：6．

点评 本题考查了向量的数量积运算以及向量的模的求法；一般的，要求向量的模，先求向量的平方．