Question

6．已知点A，B，C，D均在球O的球面上，AB=BC=1，AC=$\sqrt{3}$，若三棱锥D-ABC体积的最大值是$\frac{1}{4}$，则球O的表面积为$\frac{16}{3}$π．

Answer 1

分析 确定∠ABC=120°，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，利用三棱锥D-ABC的体积的最大值为$\frac{1}{4}$，可得D到平面ABC的最大距离，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：设△ABC的外接圆的半径为r，则
∵AB=BC=1，AC=$\sqrt{3}$，∴∠ABC=120°，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴2r=$\frac{\sqrt{3}}{sin120°}$=2
∵三棱锥D-ABC的体积的最大值为$\frac{1}{4}$，
∴D到平面ABC的最大距离为$\sqrt{3}$，
设球的半径为R，则1²=$\sqrt{3}$×（2R-$\sqrt{3}$），
∴R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴球O的表面积为4πR²=$\frac{16}{3}$π．
故答案为：$\frac{16}{3}$π．

点评 本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定D到平面ABC的最大距离是关键．