Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且经过点M（2，$\sqrt{2}$），求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 根据椭圆的方程，特殊点，离心率，建立方程组，即可求解．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且经过点M（2，$\sqrt{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
∴a²=8，b²=4，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．