Question

13．已知f（x）=sin²（$\frac{π}{6}$-x）-cos²（$\frac{π}{4}$+x）+cos$\frac{π}{6}$cos（$\frac{π}{6}$-2x）
（1）化简f（x），求f（x）的最小值，指出此时x的值．
（2）若g（x）=$\frac{1}{2}$（cos2x-sin2x），问f（x）的图象经过怎样的变化得到g（x）的图象．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最小值，以及此时x的值．
（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：（1）f（x）=sin²（$\frac{π}{6}$-x）-cos²（$\frac{π}{4}$+x）+cos$\frac{π}{6}$cos（$\frac{π}{6}$-2x）
=$\frac{1-cos（\frac{π}{3}-2x）}{2}$-$\frac{1+cos（\frac{π}{2}+2x）}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（$\frac{π}{6}$-2x）
=-$\frac{cos（\frac{π}{3}-2x）}{2}$-$\frac{-sin2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（$\frac{π}{6}$-2x）
=-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x）
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
故f（x）的最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时2x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z，即x=kπ-$\frac{π}{8}$，k∈z．
（2）由于g（x）=$\frac{1}{2}$（cos2x-sin2x）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{3π}{4}$），
故把f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$） 的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，可得y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2（x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{3π}{4}$）=g（x）的图象．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．