Question

8．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2014x-2015，x≤0}\\{2-x+lnx，x＞0}\end{array}\right.$，则函数f（x）的零点个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由题意可得，f（x）在（-∞，0]上有唯一零点-2015．当x＞0时，利用导数研究函数的极大值为f（1）=1，再根据当x趋于正无穷大时，f（x）趋于负无穷大；当x趋于0时，f（x）趋于负无穷大，可得f（x）在（0，+∞）上有2个零点，综合可得结论．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2014x-2015，x≤0}\\{2-x+lnx，x＞0}\end{array}\right.$，即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2015）（x-1），x≤0}\\{2-x+lnx，x＞0}\end{array}\right.$，则f（x）在（-∞，0]上有唯一零点-2015．
当x＞0时，f（x）=2-x+lnx，f′（x）=-1+$\frac{1}{x}$，在（0，1）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；在（1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
故当x=1时，f（x）取得最大值为1．
又当x趋于正无穷大时，f（x）趋于负无穷大；当x趋于0时，f（x）趋于负无穷大，故f（x）在（0，+∞）上有2个零点．
综上可得，f（x）在R上的零点个数为3，如图：
故选：C．

点评 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．