Question

20．如图，△ACB，△ADC都为等腰直角三角形，M为AB的中点，且平面ADC⊥平面ACB，AB=4，AC=2$\sqrt{2}$，AD=2
（1）求证：BC⊥平面ACD
（2）求直线MD与平面ADC所成的角．

Answer 1

分析 （1）根据所给边的长度和△ACB，ADC都为等腰直角三角形即可知道∠ADC=90°，BC⊥AC，而根据平面ADC⊥平面ACB即可得到BC⊥平面ACD；
（2）取AC中点E，连接ME，DE，便容易说明∠EDM是直线MD与平面ADC所成的角，由已知条件即知ME=DE=$\sqrt{2}$，从而得到∠EDM=45°．

解答 解：（1）证明：根据已知条件便知∠ADC=90°，∠ACB=90°；
∴BC⊥AC；
∵平面ADC⊥平面ACB，平面ADC∩平面ACB=AC；
∴BC⊥平面ACD；
（2）如图，取AC中点E，连接ME，DE，∵M为AB中点，则：
ME∥BC，ME=$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$；
由（1）BC⊥平面ACD；
∴ME⊥平面ACD；
∴∠MDE为直线MD和平面ADC所成角；
∴在Rt△MDE中，直角边ME=DE；
∴∠MDE=45°；
即直线MD与平面ADC所成的角为45°．

点评 考查直角三角形边的关系，面面垂直的性质定理，以及中位线的性质，线面角的概念及求法．