Question

15．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边，acosB+$\frac{1}{2}$b=c．
（1）求∠A的大小；
（2）若等差数列{a_n}中，a₁=2cosA，a₅=9，设数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为S_n，求证：S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）过点C作AB边上的高交AB与D，通过acosB+$\frac{1}{2}$b=c，可知∠A=60°；
（2）通过（1）及a₁=2cosA、a₅=9可知公差d=2，进而可得通项a_n=2n-1，分离分母得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并项相加即可．

解答 （1）解：过点C作AB边上的高交AB与D，
则△ACD、△BCD均为直角三角形，
∵acosB+$\frac{1}{2}$b=c．
∴AD=AB-BD=c-acosB=$\frac{1}{2}$b，
∴∠A=60°；
（2）证明：由（1）知a₁=2cosA=2cos60°=1，
设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₅=a₁+（5-1）d=9，∴d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（$1-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查等差数列的性质，考查三角形的角的大小，利用并项法是解决本题的关键，属于中档题．