Question

10．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐方程；
（2）点P是圆C上任一点，求点P到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）把t=x代入y=1+2t，可得直线l的普通方程；由圆C的方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开化为：ρ²=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ），把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出；
（2）圆心C（1，1）到直线l的距离d，可得点P到直线l的距离的最大值=d+r．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$（t为参数），把t=x代入y=1+2t，可得y=2x+1；
由圆C的方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开化为：ρ²=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ），化为x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2．
（2）圆心C（1，1）到直线l的距离d=$\frac{|2-1+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴点P到直线l的距离的最大值=d+r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程、点到直线的距离公式、圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．