Question

1．已知数列{x_n}满足x_n+1=x_n²+x_n，x₁=a（a≠1），数列{y_n}满足y_n=$\frac{1}{{x}_{n}+1}$，设p_n=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{n+1}}$，S_n为{y_n}的前n项和，求证：aS_n+p_n=1．

Answer 1

分析 通过对y_n=$\frac{1}{{x}_{n}+1}$的变形及分离分母，可得y_n=$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$，并项相加即可．

解答 解：∵x_n+1=x_n²+x_n，
∴y_n=$\frac{1}{{x}_{n}+1}$
=$\frac{{x}_{n}}{{{x}_{n}}^{2}+{x}_{n}}$
=$\frac{{x}_{n}}{{x}_{n+1}}$
=$\frac{{{x}_{n}}^{2}}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$
=$\frac{{x}_{n+1}-{x}_{n}}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$
=$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$，
∴S_n=y₁+y₂+…+y_n
=$\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$
=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$，
∴aS_n=a（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$）=1-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{n+1}}$，
∴aS_n=1-P_n，
∴aS_n+p_n=1．

点评 本题考查数列的通项公式，对表达式的灵活变形及并项相加法是解决本题的关键，属于中档题．