Question

8．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$（n∈N^*），a₁=0，记数列{a_n}的前n项和为S_n，c_n=S_n-n+1+lnn．
（Ⅰ）令b_n=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，求证数列{b_n}为等差数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）证明：（ i）对任意正整数n，|sin（b_n•θ）|≤b_n|sinθ|；
（ ii）数列{c_n}从第2项开始是递增数列．

Answer 1

分析 （I）通过已知条件，利用递推关系可得b_n+1-b_n=1且b₁=1，进而可得结论；
（II）（i）问题即为证明|sinnθ|≤n|sinθ|，利用数学归纳法、三角函数的和角公式及三角函数的有界性即可；（ii）通过c_n=S_n-n+1+lnn，得c_n+1-c_n=$-\frac{1}{n+1}+ln\frac{n+1}{n}$，令$\frac{1}{n+1}$=x，且$0＜x≤\frac{1}{3}$，通过求导可得f（x）=-x-ln（1-x）在$（{0，\frac{1}{3}}]$单调递增，进而可得结论．

解答 （I）解：∵a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，b_n=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，
∴b_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2-{a}_{n}}}$=$\frac{2-{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=1+b_n，
所以b_n+1-b_n=1且b₁=$\frac{1}{1-0}$=1，
故数列{b_n}是以首项、公差均为1的等差数列，
所以b_n=n；
（II）证明：
 （i）由（I）知，b_n=n，
要证|sin（b_n•θ）|≤b_n|sinθ|，只需证|sinnθ|≤n|sinθ|．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，|sinθ|=|sinθ|，结论成立．
②假设当n=k（k≥1）时结论成立，即|sinkθ|≤k|sinθ|．
那么，当n=k+1时，
|sin（k+1）θ|=|sinkθcosθ+coskθsinθ|
≤|sinkθcosθ|+|coskθsinθ|
=|sinkθ||cosθ|+|coskθ||sinθ|
≤|sinkθ|+|sinθ|
≤k|sinθ|+|sinθ|
=（k+1）|sinθ|，即结论成立．
由①②可知，结论对一切正整数n都成立；
（ii）∵c_n=S_n-n+1+lnn，
∴c_n+1-c_n=S_n+1-（n+1）+1+ln（n+1）-S_n+n-1-lnn
=${a_{n+1}}-1+ln\frac{n+1}{n}$
=$-\frac{1}{n+1}+ln\frac{n+1}{n}$，
令$\frac{1}{n+1}$=x，且$0＜x≤\frac{1}{3}$，
记f（x）=-x-ln（1-x），
∵f′（x）=-1+$\frac{1}{1-x}$=$\frac{x}{1-x}$＞0，
∴f（x）在$（{0，\frac{1}{3}}]$单调递增，则f（x）＞f（0）=0，
即c_n+1-c_n＞0，c_n+1＞c_n．
故数列{c_n}是递增数列．

点评 本题考查数列的递推性质，考查等差数列的通项公式、数学归纳法，涉及到三角函数的和角公式、有界性，考查分析问题、解决问题及计算能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，属于难题．