Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n=（1-$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$）$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$，求证：b₁+b₂+…+b_n＜2（$\sqrt{2}$-1）．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{1}{（n+1）{a}_{n+1}}$=$\frac{n{a}_{n}+1}{n{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{n{a}_{n}}$，从而{$\frac{1}{n{a}_{n}}$}是首项为2，公差为1的等差数列，由此能求出a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
（2）由${a}_{n}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用裂项求和法得S_n=$\frac{n}{n+1}$，从而b_n=（1-$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$）$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$＜$2（\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}）$，由此能证明b₁+b₂+…+b_n＜$2（\sqrt{2}-1）$．

解答 （1）解：∵数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{（n+1）（n{a}_{n}+1）}{n{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{（n+1）{a}_{n+1}}$=$\frac{n{a}_{n}+1}{n{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{n{a}_{n}}$，
又$\frac{1}{{a}_{1}}$=2，∴{$\frac{1}{n{a}_{n}}$}是首项为2，公差为1的等差数列，
∴$\frac{1}{n{a}_{n}}$=2+（n-1）×1=n+1，
∴a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$；
（2）证明：∵${a}_{n}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∵$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}=\frac{{n}^{2}+2n}{（n+1）^{2}}＜1$，
∴b_n=（1-$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}$）$\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$=$（\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n+1}}）•\frac{{S}_{n}}{\sqrt{{S}_{n+1}}}$=$（\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}）（\frac{\sqrt{{S}_{n}}}{\sqrt{{S}_{n+1}}}+\frac{{S}_{n}}{{S}_{n+1}}）$
＜$2（\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}）$，
则b₁+b₂+…+b_n＜$2（\frac{1}{\sqrt{{S}_{1}}}-\frac{1}{\sqrt{{S}_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{{S}_{2}}}-\frac{1}{\sqrt{{S}_{3}}}+…+\frac{1}{\sqrt{{S}_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}）$=$2（\frac{1}{\sqrt{{S}_{1}}}-\frac{1}{\sqrt{{S}_{n+1}}}）=2（\sqrt{2}-\sqrt{\frac{n+2}{n+1}}）$$＜2（\sqrt{2}-1）$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、放缩法及裂项求和法的合理运用，是难度较大的题目．