Question

11．设函数f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果对所有的x≥1，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，利用导数和函数单调性的关系即可求出；
（Ⅱ）分离参数，a≥$\frac{2lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，构造函数h（x）=$\frac{2lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，求导，再构造函数m（x）=x-xlnx-1，利用导数求出函数的最大值，问题得以解决．

解答 解：（Ⅰ） f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，
当x＞$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）单调递增．
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤ax?a≥$\frac{2lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=$\frac{2lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，（x≥1），
则h′（x）=$\frac{2-2lnx}{{x}^{2}}-\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{2（x-xlnx-1）}{{x}^{3}}$，
令m（x）=x-xlnx-1，（x≥1），
则m′（x）=-lnx，
当x≥1时，m′（x）≤0，
于是m（x）在[1，+∞）上为减函数，
从而m（x）≤m（1）=0，因此h′（x）≤0，
于是h（x）在[1，+∞）上为减函数，
所以当x=1时h（x）有最大值h（1）=1，
故a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用