Question

5．设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=$\frac{1}{12}$x⁴-$\frac{1}{6}$mx³-$\frac{3}{2}$x²．
（1）求f′（x）、f″（x）；
（2）若f（x）为区间（-1，3）上的“凸函数”，试确定实数m的值；
（3）若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在（a，b）上总为“凸函数”，求b-a的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接求导，即可求f′（x）、f″（x）；
（2）函数在区间（-1，3）上为“凸函数”，所以f″（x）＜0，即对函数y=f（x）二次求导，转化为不等式问题解决即可；
（3）利用函数总为“凸函数”，即f″（x）＜0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可．

解答 解：（1）由函数f（x）=$\frac{1}{12}$x⁴-$\frac{1}{6}$mx³-$\frac{3}{2}$x²，得f′（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$mx²-3x，f″（x）=x²-mx-3（3分）
（2）若f（x）为区间（-1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x²-mx-3＜0在区间（-1，3）上恒成立，
由二次函数的图象，当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{f″（-1）=1+m-3≤0}\\{f″（3）=9-3m-3≤0}\end{array}\right.$，即m=2．（7分）
（3）当|m|≤2时，f″（x）=x²-mx-3＜0恒成立?当|m|≤2时，mx＞x²-3恒成立．（8分）
当x=0时，f″（x）=-3＜0显然成立．（9分）
当x＞0，x-$\frac{3}{x}$＜m，
∵m的最小值是-2．∴x-$\frac{3}{x}$＜-2．
从而解得0＜x＜1，（11分）
当x＜0，x-$\frac{3}{x}$＞m，
∵m的最大值是2，∴x-$\frac{3}{x}$＞2，
从而解得-1＜x＜0．（13分）
综上可得-1＜x＜1，从而（b-a）_max=1-（-1）=2（14分）

点评 本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．