Question

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且$sinAsinC=\frac{3}{4}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=3，求△ABC的面积最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理结合已知可得sin²B=sinAsinC．又$sinAsinC=\frac{3}{4}$，结合sinB＞0，可求sinB的值，结合B∈（0，π），即可求得B的大小，又b²=ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，从而可求B的值．
（II）由余弦定理结合已知可得ac≤9，由三角形面积公式可得${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB≤\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，即可求得△ABC的面积最大值．

解答 解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则b²=ac．
由正弦定理得sin²B=sinAsinC．
又$sinAsinC=\frac{3}{4}$，
所以${sin^2}B=\frac{3}{4}$．
因为sinB＞0，
则$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…4分
因为B∈（0，π），
所以B=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
又b²=ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，
故$B=\frac{π}{3}$．…7分
（II）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得9=a²+c²-ac≥2ac-ac，得ac≤9．
所以，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB≤\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．
当a=c=3时，△ABC的面积最大值为$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$…12分．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式，等比数列的性质等知识的应用，综合性强，属于中档题．