Question

17．抛物线y²=2x的内接△ABC的三条边所在直线与抛物线x²=2y均相切，设A，B两点的纵坐标分别是a，b，则C点的纵坐标为（　　）

• A． a+b
• B． -a-b
• C． 2a+2b
• D． -2a-2b

Answer 1

分析 由题意分别设出A（$\frac{1}{2}{a}^{2}，a$），B（$\frac{1}{2}{b}^{2}，b$），C（$\frac{1}{2}{c}^{2}，c$）．然后由两点坐标分别求得三角形三边所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，和抛物线方程联立，由判别式等于0得到a，b，c所满足的条件，把c用含有a，b的代数式表示得答案．

解答 解：如图：设A（$\frac{1}{2}{a}^{2}，a$），B（$\frac{1}{2}{b}^{2}，b$），C（$\frac{1}{2}{c}^{2}，c$）．

则${k}_{AB}=\frac{b-a}{\frac{1}{2}{b}^{2}-\frac{1}{2}{a}^{2}}=\frac{2}{b+a}$，∴AB所在直线方程为$y-b=\frac{2}{b+a}（x-\frac{1}{2}{b}^{2}）$，
即$y=\frac{2}{b+a}x+\frac{ab}{b+a}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{b+a}x+\frac{ab}{b+a}}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，得：（b+a）x²-4x-2ab=0．
则△=（-4）²+8ab（a+b）=0，即2+ab（a+b）=0．
同理可得：2+ac（a+c）=0，2+bc（b+c）=0．
两式作差得：c=-a-b．
故选：B．

点评 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线和抛物线相切的条件，考查了运算能力，是中档题．