Question

5．已知函数f（x）=$\frac{cos2x（sinx+cosx）}{cosx-sinx}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得cosx-sinx≠0，解三角不等式可得函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）化简可得f（x）=sin2x+1，解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$结合定义域可得单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得cosx-sinx≠0，
即tanx≠1，解得x≠kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z}；
（Ⅱ）化简可得f（x）=$\frac{cos2x（sinx+cosx）}{cosx-sinx}$=$\frac{（co{s}^{2}x-si{n}^{2}x）（sinx+cosx）}{cosx-sinx}$
=（cosx+sinx）²=sin2x+1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，
又x≠kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z
∴函数f（x）的单调增区间为（kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$）k∈Z

点评 本题考查三角函数的定义域和单调性，涉及三角函数公式的化简运算，属基础题．