Question

14．设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足S=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{a^2}+{c^2}-{b^2}）$．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{3}$，设A=x，$y=（\sqrt{3}-1）a+2c$，求函数y=f（x）的解析式和最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形面积公式表示出S，利用余弦定理表示出cosB，代入已知等式求出tanB的值，即可确定出B的度数；
（Ⅱ）利用正弦定理表示出a，c，代入已知等式中利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的性质确定出最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S=$\frac{1}{2}$acsinB，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+c²-b²），
∴$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•2accosB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
又B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B=$\frac{π}{3}$，△ABC的内角和A+B+C=π，
又A＞0，C＞0，得0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
由正弦定理，知a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}sinx}{sin\frac{π}{3}}$=2sinx，c=$\frac{bsinC}{sinB}$=2sin（$\frac{2π}{3}$-x），
∴y=（$\sqrt{3}$-1）a+2c=2（$\sqrt{3}$-1）sinx+4sin（$\frac{2π}{3}$-x）=2$\sqrt{3}$sinx+2$\sqrt{3}$cosx=2$\sqrt{6}$sin（x+$\frac{π}{4}$）（0＜x＜$\frac{2π}{3}$），
当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{4}$时，y取得最大值2$\sqrt{6}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．