Question

8．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，它的体积是$15\sqrt{3}$，底面△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，
AC=3，B₁在底面的射影是D，且D为BC的中点．
（1）求侧棱BB₁与底面ABC所成角的大小；
（2）求异面直线B₁D与CA₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）B₁D⊥面ABC，∠B₁BD就是侧棱BB₁与底面ABC所成的角θ，运用棱柱的体积公式和解直角三角形，即可得到所求值；
（2）取B₁C₁的中点E，连EC，A₁E，则∠ECA₁（或其补角）为所求的异面直线所成角的大小，运用解直角三角形，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）依题意，B₁D⊥面ABC，
∠B₁BD就是侧棱BB₁与底面ABC所成的角θ，
由${V_{ABC-{A_1}{B_1}C}}_1={S_{△ABC}}•{B_1}D=\frac{1}{2}×4×3×{B_1}D=15\sqrt{3}$，
则${B_1}D=\frac{5}{2}\sqrt{3}$，
由D为BC的中点，BC=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
即有$BD=\frac{5}{2}$，
由${B_1}D=BDtanθ=\frac{5}{2}tanθ$，即$tanθ=\sqrt{3}$，
∴$θ=\frac{π}{3}$，即侧棱BB₁与底面ABC所成角为$\frac{π}{3}$；
（2）取B₁C₁的中点E，连EC，A₁E，
则∠ECA₁（或其补角）为所求的异面直线所成角的大小，
B₁D⊥面ABC，B₁D‖CE，面ABC‖面A₁B₁C₁∴CE⊥面A₁B₁C₁，
∴CE⊥A₁E，tan∠A₁CE=$\frac{{A}_{1}E}{EC}$=$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所求异面直线B₁D与CA₁所成角为$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查空间角的求法，主要考查直线和平面所成的角和异面直线所成的角的求法，考查直线和平面的位置关系，属于中档题．