Question

3．已知离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$的双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为4，则a的值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 利用双曲线的离心率求出渐近线方程，利用三角形的面积，结合离心率即可得到方程组求出a即可．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，所以FA⊥OA，则FA=b，OA=a，
△AOF的面积为4，
可得$\frac{1}{2}ab=4$，
双曲线的离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可得$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{4}$，即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，
解得b=2，a=4．
故选：C．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质，考查计算能力．