Question

9．若命题“?x∈[1，2]，x²+2ax+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是$（-\frac{1}{3}，+∞）$．

Answer 1

分析 根据所给的特称命题写出它的否定：任意实数x，使x²+2ax+a≥0，根据命题否定是真命题，进行转化后求解．

解答 解：∵命题“?x∈[1，2]，使x²+2ax+a≤0”的否定是：?x∈[1，2]，使x²+2ax+a＞0，
命题否定是真命题，
∴△=（2a）²-4a＜0或$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}≥2\\ f（2）＞0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}-a≥2\\ 4+5a＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}≤1\\ f（1）＜0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}-a≤1\\ 1+3a＞0\end{array}\right.$
解得a∈$（-\frac{1}{3}，+∞）$．
故答案为：$（-\frac{1}{3}，+∞）$．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，解题的关键是利用命题的否定与原命题的对立关系，写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个假命题，得到判别式的情况．