Question

4．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-1，则数列{a_n²}的前10项和为（　　）

• A． 4¹⁰-1
• B． （2¹⁰-1）²
• C． $\frac{1}{3}$（4¹⁰-1）
• D． $\frac{1}{3}$（2¹⁰-1）

Answer 1

分析 利用S_n=2ⁿ-1可得a_n+1=S_n+1-S_n=2ⁿ，结合a₁=S₁=1，可知a_n=2^n-1，进而可得${{a}_{n}}^{2}$=4^n-1，根据等比数列的求和公式计算即可．

解答 解：∵S_n=2ⁿ-1，∴S_n+1=2ⁿ⁺¹-1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（2ⁿ⁺¹-1）-（2ⁿ-1）=2ⁿ，
又a₁=S₁=2-1=1，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=2^n-1，
∴${{a}_{n}}^{2}$=（2^n-1）²=4^n-1，
∴所求值为$\frac{1-{4}^{10}}{1-4}$=$\frac{1}{3}（{4}^{10}-1）$，
故选：C．

点评 本题考查数列的递推公式，等比数列的通项公式、求和公式，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，属于中档题．