Question

12．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为正三角形，且E、F分别为AD、AB的中点，BE⊥平面PAD．
（1）求证：BC⊥平面PEB；
（2）求EF与平面PDC所成角的正弦值．
（3）求平面PEB与平面PDC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明：AD⊥平面PEB，利用四边形ABCD为菱形，可得AD∥BC，即可证明BC⊥平面PEB；
（2）以E为原点，建立坐标系，求出平面PDC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求EF与平面PDC所成角的正弦值；
（2）所求值即为平面PEB的法向量与平面PDC的法向量的夹角的余弦值的绝对值．

解答 （1）证明：∵△PAD为正三角形，且E为AD的中点，∴PE⊥AD，
∵BE⊥平面PAD，∴BE⊥AD，
∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面PEB，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，∴BC⊥平面PEB；
（2）解：以E为原点，建立如图所示的坐标系，
不妨设菱形ABCD的边长为2，则AE=ED=1，
PA=2，PE=$\sqrt{3}$，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
则点A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0），
D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），F（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{DC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DP}$=（1，0，$\sqrt{3}$）．
设平面PDC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}$，-1，1）．
又$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
∴EF与平面PDC所成角的正弦值为|$\frac{（-\sqrt{3}，-1，1）•（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）}{\sqrt{5}×1}$|=$\frac{\sqrt{15}}{5}$；
（3）解：显然平面PEB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（-1，0，0），
∵$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{（-\sqrt{3}，-1，1）•（-1，0，0）}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴平面PEB与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及线面角及其度量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．