Question

7．已知数列{a_n}的首项为a₁=a，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足S${\;}_{n}^{2}$=3n²a_n+S${\;}_{n-1}^{2}$，a₁≠0，n≥2．若数列{a_n}为等差数列，求a的值．

Answer 1

分析 分别令n=2，n=3，及a₁=a，结合已知可由a表示a₂，a₃，结合等差数列的性质可求a，

解答 解：在S${\;}_{n}^{2}$=3n²a_n+S${\;}_{n-1}^{2}$，中分别令n=2，n=3，及a₁=a，
得（a+a₂）²=12a₂+a²，（a+a₂+a₃）²=27a₃+（a+a₂）²，
因为a_n≠0，所以a₂=12-2a，a₃=3+2a．
因为数列{a_n}是等差数列，所以a₁+a₃=2a₂，
即2（12-2a）=a+3+2a，解得a=3．
经检验a=3时，a_n=3n，S_n=$\frac{3n（n+1）}{2}$，S_n-1=$\frac{3n（n-1）}{2}$，
满足S${\;}_{n}^{2}$=3n²a_n+S${\;}_{n-1}^{2}$．

点评 本题主要考查了等差数列的性质的应用，数列的前n项和公式的应用，比较基础．