Question

17．已知函数y=f（x）的图象经过坐标原点，且f（x）=x²-x+b，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设P_n=a₁+a₄+a₇+…+a_3n-2，Q_n=a₁₀+a₁₂+a₁₄+…+a_2n+8，其中n∈N^*，试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论；
（3）若数列{b_n}满足a_n+log₃n=log₃b_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）首先利用代入法求出S_n的关系式，然后利用S_n与a_n的关系求a_n；
（2）是一个是开放性问题，利用等差数列求和公式求出P_n和Q_n，然后利用作差法比较大小；
（3）利用对数知识求出b_n，然后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）由f（x）=x²-x+b（b∈R），
y=f（x）的图象过原点，即b=0，
则f（x）=x²-x，S_n=n²-n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-2，
又因为a₁=S₁=0适合a_n=2n-2
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-2（n∈N^*）；
（2）a₁，a₄，a₇，…，a_3n-2组成以0为首项6为公差的等差数列，
所以P_n=$\frac{n（n-1）}{2}$•6=3n（n-1），
a₁₀，a₁₂，a₁₄，…，a_2n+8组成以18为首项4为公差的等差数列，
所以Q_n=18n+$\frac{n（n-1）}{2}$•4=2n²+16n，
故P_n-Q_n=3n²-3n-2n²-16n=n²-19n=n（n-19），
所以，对于正整数n，当n≥20时，P_n＞Q_n；
当n=19时，P_n=Q_n；
当n≤18时，P_n＜Q_n．
（3）由a_n+log₃n=log₃b_n得：b_n=n•${3}^{{a}_{n}}$=n•3^2n-2，
所以T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=3⁰+2•3²+3•3⁴+…+n•3^2n-2①
所以9T_n=3²+2•3⁴+3•3⁶+…+n•3²ⁿ②
②-①得：8T_n=n•3²ⁿ-（1+3²+3⁴+3⁶++3^2n-2）=n•3²ⁿ-$\frac{{3}^{2n}-1}{8}$
所以T_n=$\frac{n•{3}^{2n}}{8}$-$\frac{{3}^{2n}-1}{64}$=$\frac{（8n-1）•{3}^{2n}+1}{64}$．

点评 本题将数列与函数有机的结合在一起，综合考查了对数的运算、等差数列、等差数列的求和、错位相减法等知识点以及分析问题、综合解决问题的能力，属于中档题．