Question

5．已知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=f（n）（n≥2）．
（1）若a₁=1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n+1}$（n≥2），求a_n；
（2）若a₁=1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2ⁿ，求a_n．

Answer 1

分析 （1）直接利用已知结合累积法求数列的通项公式；
（2）利用累积法结合等差数列的前n项和求得数列通项公式．

解答 解：（1）由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n+1}$（n≥2），得
${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}…\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$=$\frac{n}{n+1}•\frac{n-1}{n}…\frac{2}{3}•1$=$\frac{2}{n+1}$（n≥2）．
由a₁=1适合上式．
∴${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$；
（2）由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2ⁿ（n≥2），得
${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}…\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$=2ⁿ•2^n-1…2²=2^2+3+…+n=${2}^{\frac{（n-1）（n+2）}{2}}$（n≥2）．
由a₁=1适合上式．
∴${a}_{n}={2}^{\frac{（n-1）（n+2）}{2}}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是中档题．