Question

18．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{x^3}+3{x^2}+m，\;\;0≤x≤1，\;\\ mx+5，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x＞1.\;\end{array}\right.$若函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（-5，0）．

Answer 1

分析 由分段函数知，分段讨论函数的单调性，从而求导可知f（x）在[0，1]上是增函数，从而化为函数f（x）在[0，1]与（1，+∞）上各有一个零点；从而求实数m的取值范围．

解答 解：当0≤x≤1时，
f（x）=2x³+3x²+m，
f′（x）=6x²+6x=6x（x+1）≥0；
故f（x）在[0，1]上是增函数，
故若使函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，
则函数f（x）在[0，1]与（1，+∞）上各有一个零点；
故m＜0，
故$\left\{\begin{array}{l}{f（0）•f（1）≤0}\\{m+5＞0}\end{array}\right.$，
解得，m∈（-5，0）；
故答案为：（-5，0）．

点评 本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，属于中档题．