Question

6．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先证明△MQB∽△B′AB，再利用相似三角形的性质得出C'N的长，再表示出求出梯形MNC′B′面积，进而求出最小值．

解答 解：如图，过N作NR⊥AB与R，则RN=BC=1，
连BB′，交MN于Q．则由折叠知，
△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，即△MBQ≌△MB′Q，
有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．
∵∠A=∠MQB，∠ABQ=∠ABB′，
∴△MQB∽△B′AB，
∴$\frac{AB′}{MQ}=\frac{AB}{BQ}=\frac{BB′}{MB}$．
设AB′=x，则BB′=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，BQ=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{x}^{2}}$，代入上式得：
BM=B'M=$\frac{1}{2}$（1+x²）．
∵∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，
∴∠MNR=∠ABB′，
在Rt△MRN和Rt△B′AB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠MNR=∠ABB′}\\{RN=AB}\\{∠A=∠NRM=90°}\end{array}\right.$，
∴Rt△MRN≌Rt△B′AB（ASA），
∴MR=AB′=x．
故C'N=CN=BR=MB-MR=$\frac{1}{2}$（1+x²）-x=$\frac{1}{2}$（x-1）²．
∴S_{梯形MNC′B′}=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$（x²+1）]×1=$\frac{1}{2}$（x²-x+1）=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{8}$，
得当x=$\frac{1}{2}$时，梯形面积最小，其最小值$\frac{3}{8}$．
故选：B．

点评 本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、全等三角形的判定和性质及翻转变换，是一道综合题，有一定的难度，这要求学生要熟练掌握各部分知识，才能顺利解答这类题目．