Question

7．如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，E为线段BC上一点，连接AC，连接AE，分别交⊙O于D，G两点，连接DG交CB于点F．
（Ⅰ）求证：C，D，E，G四点共圆．；
（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，GA=3GE，求证：CE=EB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD，从而得到∠C+∠DGE=180°，由此能证明C，E，G，D四点共圆．
（Ⅱ）设BG=x，GA=3x，由切割线定理推导出EB=2，再求出CE的长，即可证明结论．

解答 （Ⅰ）证明：连接BD，则∠AGD=∠ABD，
∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°
∴∠C=∠AGD，
∴∠C+∠DGE=180°，
∴C，E，G，D四点共圆．…..（5分）
（Ⅱ）解：设GE=x，GA=3x，
由切割线定理EG•EA=EB²，则EB=2x，
又F为EB三等分，所以EF=$\frac{2x}{3}$，FB=$\frac{4x}{3}$，
又FE•FC=FG•FD，FG•FD=FB²，
∴FC=$\frac{8x}{3}$，CE=2x，即CE=EB．…（10分）

点评 本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的灵活运用．