Question

4．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b∈N^*）的两个焦点F₁，F₂，点P是双曲线上一点，|OP|＜5，|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等比数列，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 通过等比数列的性质和双曲线的定义，余弦定理推出：|OP|²=20+3b²．利用|OP|＜5，b∈N，求出b的值，求出c，再由离心率公式计算即可得到．

解答 解：由题意，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比数列，
可知，|F₁F₂|²=|PF₁||PF₂|，
即4c²=|PF₁||PF₂|，
由双曲线的定义可知|PF₁|-|PF₂|=4，即|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=16，
可得|PF₁|²+|PF₂|²-8c²=16…①
设∠POF₁=θ，则∠POF₂=π-θ，
由余弦定理可得：|PF₂|²=c²+|OP|²-2|OF₂||OP|cos（π-θ），
|PF₁|²=c²+|OP|²-2|OF₁||OP|cosθ，
|PF₂|²+PF₁|²=2c²+2|OP|²，…②，
由①②化简得：|OP|²=8+3c²=20+3b²．
因为|OP|＜5，b∈N，所以20+3b²＜25．
所以b=1．
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，余弦定理以及等比数列的应用，是一道综合问题，考查分析问题解决问题的能力．