Question

9．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8cm，圆环的圆心O距离地面的高度为10m，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P₀处
（1）试确定在时刻t（min）时蚂蚁距离地面的高度h（m）
（2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过14m？

Answer 1

分析 （1）先算出以OP为终边的角，根据三角函数求解；
（2）利用三角函数的性质进行求解．

解答 解：（1）设在时刻t（min）时蚂蚁达到点P，由OP在t分钟内所转过的角为$\frac{2π}{12}t$=$\frac{π}{6}t$，
可知以Ox为始边，OP为终边的角为$\frac{π}{6}t$+$\frac{3}{2}π$，
则P点的纵坐标为8sin（$\frac{π}{6}t$+$\frac{3}{2}π$），
则h=8sin（$\frac{π}{6}t$+$\frac{3}{2}π$）+10=10-8cos$\frac{π}{6}t$，
∴h=10-8cos$\frac{π}{6}t$（t≥0）
（2）h=10-8cos$\frac{π}{6}t$≥14⇒cos$\frac{π}{6}t$≤-$\frac{1}{2}$
⇒$\frac{2}{3}π+2kπ≤$$\frac{π}{6}t$$≤\frac{4}{3}π+2kπ$（k∈Z）
因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，故不妨令t∈[0，12]，
∴4≤t≤8
所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m．
故答案为：（1）h=10-8cos$\frac{π}{6}t$（t≥0）
         （2）4分钟．

点评 本题考查了在实际问题中学生建立三角函数模型的能力．