Question

6．如图，C、D在半径为1的圆O上，线段AB是圆O的直径，则$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BD}$的取值范围为[-4，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，设出C的坐标，求出$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$，然后化简，即可求解它的范围．

解答 解：如图建立平面直角坐标系：

设D（cosθ，sinθ），-π≤θ≤π，
∠CAB=α，$\overrightarrow{AC}$=（a，b），-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$，
则tanα=$\frac{b}{a}$，a=2cos²α，b=2cosαsinα，
$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（a，b）•（cosθ-1，sinθ）
=acosθ+bsinθ-a
=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（θ+φ）-a，
其中tanφ=$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{tanα}$，∴α+φ=$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
从而-$\frac{3π}{2}$＜θ+φ＜$\frac{3π}{2}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（θ+φ）-a的最大值是：$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$-a，最小值是：-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$-a，
最大值为：$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$-a=$\sqrt{{（{2cos}^{2}α）}^{2}{+（2cosαsinα）}^{2}}$-2cos²α
=2cosα-2cos²α
=-2${（cosα-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$，
当α=$\frac{π}{3}$时，取最大值$\frac{1}{2}$；
最小值是：-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$-a=-2cosα-2cos²α=-2${（cosα+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$，
当α=0时，取最小值-4；
故答案为：[-4，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查向量数量积的应用，考查转化思想计算能力，建立直角坐标系，利用坐标运算是解答本题的关键．