Question

12．已知矩阵M=$（\begin{array}{l}{a}&{1}\\{0}&{b}\end{array}）$（a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）当a=2，b=3时，求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量；
（Ⅱ）当a=b时，曲线C：x²-y²=1在矩阵M的对应变换作用下得到曲线C′：x²-2xy-1=0，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过令特征多项式f（λ）=（λ-2）（λ-3）=0，得λ=2或λ=3，进而可得结论；
（Ⅱ）利用$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{0}&{b}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，并将变换公式代入曲线C′：x²-2xy-1=0，计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a=2，b=3，∴M=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{0}&{3}\end{array}]$，
令f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-2}&{-1}\\{0}&{λ-3}\end{array}|$=（λ-2）（λ-3）=0，
得λ=2或λ=3，
当λ=2时，由$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{0}&{3}\end{array}]$$\overrightarrow{{ξ}_{1}}$=2$\overrightarrow{{ξ}_{1}}$，得$\overrightarrow{{ξ}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$，
当λ=3时，由$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{0}&{3}\end{array}]$$\overrightarrow{{ξ}_{2}}$=3$\overrightarrow{{ξ}_{2}}$，得$\overrightarrow{{ξ}_{2}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，
所以对应特征值为2的一个特征向量是$\overrightarrow{{ξ}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$；
对应特征值为3的一个特征向量是$\overrightarrow{{ξ}_{2}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$．
（Ⅱ）设曲线C上的点P（x，y）在矩阵M的作用下变成P′（x′，y′），
则$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{0}&{b}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{x′=ax+y}\\{y′=ay}\end{array}\right.$，
将变换公式代入曲线C′：x²-2xy-1=0，
可得（ax+y）²-2（ax+y）y-1=0，
即a²x²-y²-1=0，
即为曲线C：x²-y²=1，
∴a²=1，
又a＞0，∴a=1．

点评 本题考查矩阵的变换性质，是一道中档题．