Question

20．如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是2；表面积是2+3$\sqrt{2}$+$\sqrt{22}$．

Answer 1

分析 由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积，再求出表面积即可．

解答 解：由三视图可知，这个四棱锥的侧面都是直角三角形，其底面为一个对角线长为2的正方形，正方形的边长为2sin45°=$\sqrt{2}$，其底面积为$4×\frac{1}{2}×1×1$=2．
由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形，
由于此侧棱长为$\sqrt{13}$，对角线长为2，故棱锥的高为$\sqrt{13-4}$=3，
此棱锥的体积为$\frac{1}{3}×2×3$=2，
又直角三角形的直角边为$\sqrt{9+2}$=$\sqrt{11}$，
则其表面积为：S=2+2×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×3+2×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{11}$=2+3$\sqrt{2}$+$\sqrt{22}$．
故答案为：$2；2+3\sqrt{2}+\sqrt{22}$．

点评 本题考查由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积．