Question

9．已知直线l：x-y+1=0与抛物线C：x²=4y交于A，B两点，点P为抛物线C上一动点，且在直线l下方，则△PAB的面积的最大值为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先求出|AB|，再计算抛物线上点且在直线l下方，到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．

解答 解：直线l：x-y+1=0与抛物线C：x²=4y联立，可得A（2-2$\sqrt{2}$，3-2$\sqrt{2}$），B（2+2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{2}$•|2+2$\sqrt{2}$-2+2$\sqrt{2}$|=8．
平行于直线l：x-y+1=0的直线设为x-y+c=0，与抛物线C：x²=4y联立，可得x²-4x-4c=0，
∴△=16+16c=0，∴c=-1，
两条平行线间的距离为$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴△PAB的面积的最大值为$\frac{1}{2}×8×\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查△PAB的面积的最大值，考查直线与抛物线的位置关系，求出抛物线上点且在直线l下方，到直线的最大距离是关键．